User:Hjilderda/panorama

${\begin{cases}(r+x)^{2}+y^{2}&=r^{2}\\x^{2}+y^{2}&=\rho ^{2}\end{cases}}$

${\begin{aligned}(r+x)^{2}+y^{2}&=r^{2}\\x^{2}+y^{2}&=\rho ^{2}\end{aligned}}$

$\left.{\frac {A}{B}}\right\}\to X$

Het vermoeden van Collatz is een vermoeden uit de getaltheorie dat de volgende iteratie bestudeert die ook wel de hagelsteenreeks wordt genoemd:

Neem een willekeurig geheel getal $n$.

• Als $n$ even is
  • Deel $n$ door 2
• Als $n$ oneven is
  • Vermenigvuldig $n$ met 3
  • Tel er 1 bij op

Het vermoeden van Collatz zegt nu dat welk natuurlijk getal je ook kiest, als je dit proces maar lang genoeg herhaalt, $n$ uiteindelijk altijd 1 wordt. Dit vermoeden is voor het eerst geformuleerd door Lothar Collatz in 1937. Tot op heden is het vermoeden nog niet bevestigd of weerlegd.

Wiskundige notatie

De wiskundige notatie is als volgt:

Begin met het definiëren van een functie:

$f(n)=\left\{{\begin{matrix}n/2&{\mbox{als }}n\equiv 0\\3n+1&{\mbox{als }}n\equiv 1\end{matrix}}\right.{\pmod {2}}$

Maak een rij a waarin de functie f steeds wordt herhaald. In wiskundige notatie ziet dit er als volgt uit:

$a_{i}=\left\{{\begin{matrix}f(a_{i-1})&{\mbox{als }}i>0\\n&{\mbox{als }}i=0\end{matrix}}\right.$

Nu is het vermoeden als volgt:

$(\forall \ n\in \mathbb {N} ,\exists \ i\in \mathbb {N} )(a_{0}=n,a_{i}=1)$

Draaihoeken bepalen zodat gegeven punten samenvallen

Gegeven: Een kleine cirkel met straal $r$ met daarop een punt Q $(\psi _{Q},r,x_{Q},y_{Q})$ die binnen een grote cirkel ligt met straal R = 2r en daaraan raakt met daarbinnen een punt P $(\phi _{P},\rho ,x_{P},y_{P})$
Oplossing: Trek een cirkel met straal $\rho$ en hetzelfde middelpunt als de grote cirkel. Deze snijdt de kleine cirkel aan dezelfde kant van de X-as als het punt P in het punt S $(\phi _{S},\rho ,x_{S},y_{S})$

Zonder de algemeenheid te schaden kunnen wij alle punten verschuiven zodat het middelpunt van de grote cirkel in de oorsprong valt. Omdat elke raaklijn aan een cirkel loodrecht staat op de straal naar dat raakpunt gaat de lijn door de middelpunten van de grote en de kleine cirkel door het gemeenschappelijke raakpunt. Roteer alle punten om de oorsprong zodat deze lijn samenvalt met de X-as.

$\left.{\begin{matrix}(r+x)^{2}+y^{2}=r^{2}\\x^{2}+y^{2}=\rho ^{2}\end{matrix}}\right\}\Rightarrow x=-{\frac {\rho ^{2}}{R}},\,y=\pm \rho {\sqrt {1-{\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}}}$

Als P op of boven de X-as ligt dan geldt:

$\phi _{P}=\arcsin({\frac {y_{P}}{\rho }}),\,\psi _{Q}=\arcsin({\frac {y_{Q}}{r}}),\,x_{S}=-{\frac {\rho ^{2}}{R}},\,y_{S}=\rho {\sqrt {1-{\frac {\rho ^{2}}{R^{2}}}}},\,\phi _{S}=\arcsin({\frac {y_{S}}{\rho }}),\,\psi _{S}=\arcsin({\frac {y_{S}}{r}})$

De draaihoeken $\phi$ op de grote cirkel en $\psi$ op de kleine cirkel zijn:

$\phi =\arcsin({\frac {y_{S}}{\rho }})-\arcsin({\frac {y_{P}}{\rho }}),\,\psi =\arcsin({\frac {y_{S}}{r}})-\arcsin({\frac {y_{Q}}{r}})$