Using the definition of ordinal numbers suggested by John von Neumann , ordinal numbers are defined as hereditarily transitive sets: an ordinal number is a transitive set whose members are also transitive (and thus ordinals). The class of all ordinals is a transitive class.
Any of the stages
V
α
{\displaystyle V_{\alpha }}
L
α
{\displaystyle L_{\alpha }}
von Neumann universe
V
{\displaystyle V}
Gödel's constructible universe
L
{\displaystyle L}
universes
V
{\displaystyle V}
L
{\displaystyle L}
This is a complete list of all finite transitive sets with up to 20 pairs of brackets:[ 1]
{
}
,
{\displaystyle \{\},}
{
{
}
}
,
{\displaystyle \{\{\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
{
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\{\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
{
{
}
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\{\{\}\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
}
,
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\{\},\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\}\},}
{
{
}
,
{
{
}
}
,
{
{
{
}
}
}
,
{
{
{
{
}
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
}
}
}
,
{
{
}
,
{
{
{
}
}
}
}
}
.
{\displaystyle \{\{\},\{\{\}\},\{\{\{\}\}\},\{\{\{\{\}\}\}\},\{\{\},\{\{\}\}\},\{\{\},\{\{\{\}\}\}\}\}.}
A set
X
{\displaystyle X}
⋃
X
⊆
X
{\displaystyle \textstyle \bigcup X\subseteq X}
⋃
X
{\displaystyle \textstyle \bigcup X}
union of all elements of
X
{\displaystyle X}
⋃
X
=
{
y
∣
∃
x
∈
X
:
y
∈
x
}
{\displaystyle \bigcup X=\{y\mid \exists x\in X:y\in x\}}
Moreover, if
X
{\displaystyle X}
⋃
X
{\displaystyle \textstyle \bigcup X}
If
X
{\displaystyle X}
Y
{\displaystyle Y}
X
∪
Y
{\displaystyle X\cup Y}
X
∪
Y
∪
{
X
,
Y
}
{\displaystyle X\cup Y\cup \{X,Y\}}
Z
{\displaystyle Z}
⋃
Z
{\textstyle \bigcup Z}
Z
∪
⋃
Z
{\textstyle Z\cup \bigcup Z}
Z
=
{
X
,
Y
}
{\displaystyle Z=\{X,Y\}}
A set
X
{\displaystyle X}
power set ,
X
⊆
P
(
X
)
{\displaystyle X\subseteq {\mathcal {P}}(X)}
The transitive closure of a set
X
{\displaystyle X}
TC
(
X
)
{\displaystyle \operatorname {TC} (X)}
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
TC
(
X
)
=
⋃
{
X
,
⋃
X
,
⋃
⋃
X
,
⋃
⋃
⋃
X
,
⋃
⋃
⋃
⋃
X
,
…
}
.
{\displaystyle \operatorname {TC} (X)=\bigcup \left\{X,\;\bigcup X,\;\bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup X,\;\bigcup \bigcup \bigcup \bigcup X,\ldots \right\}.}
Proof . Denote
X
0
=
X
{\displaystyle X_{0}=X}
X
n
+
1
=
⋃
X
n
{\displaystyle X_{n+1}=\textstyle \bigcup X_{n}}
T
=
TC
(
X
)
=
⋃
n
=
0
∞
X
n
{\displaystyle T=\operatorname {TC} (X)=\bigcup _{n=0}^{\infty }X_{n}}
is transitive, and whenever
T
1
{\displaystyle T_{1}}
X
{\displaystyle X}
T
⊆
T
1
{\displaystyle T\subseteq T_{1}}
Assume
y
∈
x
∈
T
{\displaystyle y\in x\in T}
x
∈
X
n
{\displaystyle x\in X_{n}}
n
{\displaystyle n}
y
∈
⋃
X
n
=
X
n
+
1
{\displaystyle y\in \textstyle \bigcup X_{n}=X_{n+1}}
X
n
+
1
⊆
T
{\displaystyle X_{n+1}\subseteq T}
y
∈
T
{\displaystyle y\in T}
T
{\displaystyle T}
Now let
T
1
{\displaystyle T_{1}}
X
n
⊆
T
1
{\displaystyle X_{n}\subseteq T_{1}}
n
{\displaystyle n}
T
⊆
T
1
{\displaystyle T\subseteq T_{1}}
X
0
=
X
⊆
T
1
{\displaystyle X_{0}=X\subseteq T_{1}}
X
n
⊆
T
1
{\displaystyle X_{n}\subseteq T_{1}}
X
n
+
1
=
⋃
X
n
⊆
⋃
T
1
{\displaystyle X_{n+1}=\textstyle \bigcup X_{n}\subseteq \bigcup T_{1}}
T
1
{\displaystyle T_{1}}
⋃
T
1
⊆
T
1
{\displaystyle \textstyle \bigcup T_{1}\subseteq T_{1}}
X
n
+
1
⊆
T
1
{\displaystyle X_{n+1}\subseteq T_{1}}
Note that this is the set of all of the objects related to
X
{\displaystyle X}
transitive closure of the membership relation, since the union of a set can be expressed in terms of the relative product of the membership relation with itself.
Viale, Matteo (2003). "The cumulative hierarchy and the constructible universe of ZFA". Mathematical Logic Quarterly . 50 (1): 99– 103. doi :10.1002/malq.200310080 .
